未解決な事象の分析に威力を発揮するベイズ推定【第7回】

　図1の観測データを、追加した列の属性別にまとめ直すと図2のようになる。

図2：観測データを列の属性別に並べ換え4つの領域に分ける

　図2において求めたい答は、「迷惑メールでURL付き」のデータ数（青の網掛け部分）を、「迷惑メールでURL付き」（同）と「正常メールでURL付き」（緑の網掛け部分）を加えたデータ数で割ったものである。

　実際に数式で問題を解くためには、図を少し変形させたほうが計算が容易になる。ロジカルシンキングの「MECE（Mutually Exclusive Collectively Exhaustive）の考えから具体的には、漏れや重複がないように4つの事象に分ける（図３）。

図3：高度に計算するために４つの領域を変形する

主観的な確率が条件と観測で精度が高まっていく

　それでは、例題を解いてみよう。

Step1：迷惑メールである確率P（A）を主観的に決める

Step2：Aをあぶり出す条件として、メールに「URL付きかどうか」を条件Bとする

Step3：迷惑メールがURL付きの確率であるP（B|A）が観測データから容易に求まる

Step4：当然ながら正常メールにもURL付きは存在する。そのため正常メールの中でURL付きの確率を観測で求め、URL付きである確率P（B）を計算する

　P(B) ＝ 迷惑メールの中でURL付きの確率 × 迷惑メールである事前確率
　　　　　＋　正常メールの中でURL付きの確率 × 正常メールである事前確率
　 　　＝｛ P（B|A） × P（A） ＋ P（B|Ā） × P（Ā） ｝

　なお、Aではない事象を余事象といい「Ā」で表す。

Step5：メールの中で「URL付きの確率」であるP（B）に対し、迷惑メールの中でURL付きの確率であるP（B|A） × P（A）の比を求める

　より具体的になるよう実際に数字を入れてみよう。筆者の経験から、迷惑メールである確率を30%、正常メールである確率を70%と設定する。筆者の元に届いている実際のメールから、迷惑メールの中でURL付きは60％と観測できた。同様に実際の正常メールを観測すると、URL付きは10%だった。

Step1：迷惑メールである事前確率P（A）は、筆者の経験から30%（主観による設定）

Step2：迷惑メールの条件を「URL付きである」とする（分析者が条件を創出）

Step3：迷惑メールの中でURL付きである確率P（B|A）は60%（観測による結果）

Step4：正常メールの中でURL付きである確率P（B）を計算する

　P（B） ＝ ｛ P（B|A） × P（A） ＋ P（B|Ā） × P（Ā） ｝
　　　　　= 60% × 30% + 10% × 70% = 25%

Step5：URL付きで迷惑メールである事後確率P（A|B）を計算する

　P（A|B） = P（B|A） × P（A） ／ P（B）
　　　　　= （ 60% × 30% ） ÷ 25% = 72%

　これにより、送られてきたメールがURL付きならば、72%の確率で迷惑メールだという結果が得られた。迷惑メールであると筆者が設定した事前確率は30%だったが、条件を設定し、実際のメールを観測したことで事後確率は72%になった。つまり2.4倍（ = 72% ÷ 30% ）に上がっている。

　この「2.4」という数字が、第3回で説明した「尤度」である。言い方を変えれば、条件を入れることで精度が2.4倍に高まったことになる。